Deskriptive Statistik: Definition, Kennzahlen und Rechenbeispiel

Deskriptive Statistik ist ein Zweig der Statistik, der verwendet wird, um Daten auf sinnvolle Weise zusammenzufassen und zu organisieren. Diese Art von Statistik wird genutzt, um die grundlegenden Merkmale eines Datensatzes zu beschreiben, wie Mittelwert, Median, Modus, Spannweite, Varianz und Standardabweichung. Deskriptive Statistik kann auch zur Visualisierung von Daten eingesetzt werden, beispielsweise durch Histogramme und Streudiagramme.

In diesem Artikel geben wir einen fundierten Überblick über deskriptive Statistik. Wir definieren den Begriff, erklären seinen Zweck, diskutieren die verschiedenen Typen und geben ein Beispiel.

Definition der deskriptiven Statistik

Deskriptive Statistik ist der Zweig der Statistik, der sich auf das Organisieren und Zusammenfassen von Daten konzentriert. Sie wird verwendet, um die Eigenschaften eines Datensatzes zu beschreiben, wie Mittelwert, Median, Modus, Spannweite, Varianz und Standardabweichung. Deskriptive Statistik kann auch zur visuellen Darstellung von Daten genutzt werden, beispielsweise durch Histogramme und Streudiagramme.

Zweck der deskriptiven Statistik

Deskriptive Statistik fasst große und komplexe Datensätze so zusammen, dass sie leichter verständlich werden. Sie unterstützt Entscheidungen und die Suche nach Mustern und Trends. Ein Hypothesentest oder ein Nachweis von Ursache und Wirkung folgt daraus allein jedoch nicht; dafür braucht es weiterführende statistische Verfahren und Annahmen.

Wichtige Kennzahlen

Es gibt mehrere Typen der deskriptiven Statistik. Die gebräuchlichsten sind:

Arithmetischer Mittelwert – Der Mittelwert ist der Durchschnitt eines Datensatzes. Er wird berechnet, indem alle Werte eines Datensatzes addiert und anschließend die Summe durch die Anzahl der Werte geteilt wird.

Median– Der Median ist der mittlere Wert der nach Größe sortierten Daten. Bei einer geraden Zahl von Beobachtungen verwendet man den Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Modalwert– Der Modalwert ist der am häufigsten auftretende Wert. Es kann mehrere geben. Kommt jeder Wert nur einmal vor, wird üblicherweise gesagt, dass kein Modalwert vorliegt.

Spannweite – Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert in einem Datensatz.

Varianz– Die Varianz beschreibt die Streuung anhand der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Für eine vollständige Grundgesamtheit wird durch die Zahl N der Werte geteilt. Die unverzerrte Schätzung der Populationsvarianz aus einer Stichprobe verwendet dagegen n−1 als Nenner.

Standardabweichung– Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz. Sie beschreibt die Streuung in derselben Einheit wie die ursprünglichen Daten.

Rechenbeispiel

Wir betrachten die fünf Werte 1, 3, 5, 7 und 9.

Der Mittelwert beträgt (1+3+5+7+9)÷5 = 25÷5 = 5.

Die Werte sind bereits sortiert; der mittlere Wert und damit der Median ist 5.

Alle fünf Werte kommen gleich häufig vor. Es gibt keinen eindeutig häufigsten Wert und nach der üblichen Darstellung keinen Modalwert.

Die Spannweite beträgt 9−1 = 8.

Die Summe der quadrierten Abweichungen von 5 lautet (1−5)²+(3−5)²+(5−5)²+(7−5)²+(9−5)² = 16+4+0+4+16 = 40. Behandeln wir die fünf Werte als vollständige Grundgesamtheit, beträgt die Varianz 40÷5 = 8. Als unverzerrte Stichprobenvarianz ergibt sich dagegen 40÷(5−1) = 10.

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit beträgt √8 ≈ 2,83. Bei Verwendung der unverzerrten Stichprobenvarianz beträgt die Stichprobenstandardabweichung √10 ≈ 3,16. Deshalb sollte die verwendete Berechnungsweise angegeben werden.

Fazit

Deskriptive Statistik organisiert und beschreibt Daten. Dazu gehören Kennzahlen der zentralen Tendenz wie Mittelwert, Median und Modalwert, Streuungsmaße wie Varianz und Standardabweichung sowie Lage- und Zusammenhangsmaße. Histogramme und Streudiagramme machen Verteilungen und Beziehungen sichtbar. Die passende Kennzahl und eine klar benannte Berechnungsweise helfen bei der Interpretation; allein daraus folgen aber noch keine Hypothesentests oder kausalen Aussagen.